1 先来看一个生活中的例子

比如说，有五把尺子,用它们来分别测量一线段的长度，得到如下值（颜色指不同尺子）：

之所以出现不同的值可能因为：

• 不同厂家的尺子的生产精度不同

• 尺子材质不同，热胀冷缩不一样

• 测量的时候心情起伏不定

• ......总之就是有误差，这种情况下，一般取平均值来作为线段的长度：

日常中就是这么使用的。可是作为数学爱好者，自然要想下：

• 这样做有道理吗？

• 用调和平均数行不行？

• 用中位数行不行？

• 用几何平均数行不行？

2 最小二乘法

换一种思路来思考刚才的问题。

首先，把测试得到的值画在笛卡尔坐标系中，分别记作yi ：

其次，把要猜测的线段长度的真实值用平行于横轴的直线来表示（用虚线来画），记作y ：

然后，每个点都向y做垂线，垂线的长度就是|y-yi|，也可以理解为测量值和真实值之间的误差：

因为误差是长度，还要取绝对值，计算起来麻烦，就干脆用平方来代表误差：

总的误差的平方就是：

因为y 是猜测的，所以可以不断变换：自然总的误差e也是在不断变化的。

法国数学家，阿德里安-馬里·勒讓德（1752－1833）提出让总的误差的平方最小的y就是真值，如果误差是随机的，应该围绕真值上下波动，这就是最小二乘法，即：

这是一个二次函数，对其求导，导数为0的时候取得最小值：

原来算术平均数可以让误差最小。这就是最小二乘法，所谓“二乘”就是平方的意思。

3 推广

算术平均数只是最小二乘法的特例，适用范围比较狭窄。而最小二乘法用途很广泛，比如温度与冰淇淋的销量，看上去像是某种线性关系，可以假设这种线性关系为：f(x)=ax+b

通过最小二乘法的思想：

这个时候e取最小值，对于a,b而言，上述方程组为线性方程组，用之前的（xi,yi）数据解出a=7.2，b=-73，代入f（x）=ax+b，即：f(x)=7.2x-73

其实，还可以假设：f(x)=ax^2+bx+c

在这个假设下，可以根据最小二乘法，算出a,b,c ，得到下面这根红色的二次曲线：

由此可见，同一组数据，选择不同的f(x) ，通过最小二乘法可以得到不一样的拟合曲线。

来源参考：
https://blog.csdn.net/ccnt_2012/article/details/81127117